区間の平均値を切り出す方法

なんか日記に数式を埋め込むことが出来るらしいというのをtipsで知ったので実験。せっかくなのでどこかで使うことがある気がする平均値を切り出す方法の式。


・区間[0..T]および区間[0..T+ΔT]の間で取得できる平均値から区間[T..T+ΔT]の平均値を切り出す方法
t が (0..∞) の間で定義される関数 f(t) の、区間 [0..T] の間における値の平均値が avg([0..T]) として取得できるとき、区間 [T..T+ΔT] の間の f(t) の平均値 avg([T..T+ΔT]) が以下の計算式から求められる。



avg([T..T+\Delta~T])=\frac{avg([0..T+\Delta~T])(T+\Delta~T)-avg([0..T])(T)}{\Delta~T}

以下導出。


求めたい区間[T..T+ΔT]のf(t)の平均値 avg([T..T+ΔT])は、f(t)を用いて以下の式で表される



avg([T..T+\Delta~T])=\frac{\small \int_{T}^{T+\Delta~T} f(t)dt}{\Delta~T}    ...(1)


区間[0..T]の間の平均値を表す式は以下、



avg([0..T])=\frac{\small \int_{0}^{T} f(t)dt}{T}    ...(2)


区間[0..T+ΔT]の間の平均値を表す式は以下、



avg([0..T+\Delta~T])=\frac{\small \int_{0}^{T+\Delta~T} f(t)dt}{T+\Delta~T}=\frac{\small \int_{0}^{T} f(t)dt+\int_{T}^{T+\Delta~T} f(t)dt}{T+\Delta~T}    ...(3)


後はパズル、(3)および(2)の式から



\small \int_{T}^{T+\Delta~T} f(t)dt=avg([0..T+\Delta~T])(T+\Delta~T)-avg([0..T])(T)    ...(4)
が導き出せて、(4)の式を(1)の式に代入して導出終わり。